| Titre : |
Autour de la conjecture de Hopf |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Adama Thiandoum, Auteur |
| Editeur : |
Dakar : Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique |
| Année de publication : |
provisoire |
| Importance : |
69 P. |
| Format : |
29 cm |
| Note générale : |
thèse provioire |
| Langues : |
Français (fre) |
| Mots-clés : |
conjecture de Hopf Hopf Géométrie Riemannienne géométrie différentielle |
| Résumé : |
La conjecture de H. Hopf stipule qu’il n’existe pas de métriques riemanniennes à courbure
sectionnelle strictement positive sur la variété S2 ×S2. Cette question, bien étant l’une des plus célèbres
en géométrie riemannienne, reste toujours ouverte. Dans cette thèse, on a étudié ce problème dans trois
cas particuliers.
— Si g0 est la métrique riemannienne induite sur la variété S2 ×S2 par R6 et f une fonction lisse de
S2 ×S2 à valeur dans R, nous avons étudié la conjecture de H. Hopf sur la classe des métriques
conformes à g0 : g = e xp(f )g0.On a montré que toute métrique riemannienne conformeà g0 n’est
pas à courbure sectionnelle strictement positive.
— Dans le second cas, on a travaillé sur la métrique d’un produit tordu et la métrique d’un produit
twisté pour enfin montrer que la conjecture de H. Hopf est vraie dans ces classes de métriques.
— On termine en étudiant la classe de métriques induites par le graphe de k fonctions lisses f1, f2, ...., fk
sur la variété S2×S2. Si f1, f2, ...., fk sont k fonctions lisses de S2×S2 à valeur dans R alors, on munit
S2 ×S2 d’une métrique g en tirant en arrière la métrique canonique de R6+k par l’immersion
: S2 ×S2 7−!R6+k définie par
(x ) = (x ; f1(x ), f2(x ), ..., fk (x )) 2R6+k ; x 2S2 ×S2.
Ce qui revient à dire que si X et Y sont deux champs de vecteurs tangents à S2 ×S2 en un point x alors
g (X ,Y ) = X •Y +(X f1,X f2, ...,X fk ) •(Y f1,Y f2, ...,Y fk ),
où •désigne le produit scalaire des espaces euclidiens R6 et R6+k .On a démontré que pour toute fonction
deMorse ou pour toute fonction lisse f : S2 ×S2 7−!R, la variété
S2 ×S2 {(x , f1(x )) 2R7; x 2S2 ×S2}
munie de la métrique induite par R7 n’est pas à courbure sectionnelle strictement positive ; et si f1, f2 :
S2 ×S2 7−!R sont deux fonctions deMorse ou lisses, la variété
S2 ×S2 {(x , (f1(x ), f2(x )) 2R8; x 2S2 ×S2}
munie de la métrique induite par R8 n’est pas à courbure sectionnelle strictement positive. |
| Permalink : |
https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=454 |
Autour de la conjecture de Hopf [texte imprimé] / Adama Thiandoum, Auteur . - Dakar : Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique, provisoire . - 69 P. ; 29 cm. thèse provioire Langues : Français ( fre)
| Mots-clés : |
conjecture de Hopf Hopf Géométrie Riemannienne géométrie différentielle |
| Résumé : |
La conjecture de H. Hopf stipule qu’il n’existe pas de métriques riemanniennes à courbure
sectionnelle strictement positive sur la variété S2 ×S2. Cette question, bien étant l’une des plus célèbres
en géométrie riemannienne, reste toujours ouverte. Dans cette thèse, on a étudié ce problème dans trois
cas particuliers.
— Si g0 est la métrique riemannienne induite sur la variété S2 ×S2 par R6 et f une fonction lisse de
S2 ×S2 à valeur dans R, nous avons étudié la conjecture de H. Hopf sur la classe des métriques
conformes à g0 : g = e xp(f )g0.On a montré que toute métrique riemannienne conformeà g0 n’est
pas à courbure sectionnelle strictement positive.
— Dans le second cas, on a travaillé sur la métrique d’un produit tordu et la métrique d’un produit
twisté pour enfin montrer que la conjecture de H. Hopf est vraie dans ces classes de métriques.
— On termine en étudiant la classe de métriques induites par le graphe de k fonctions lisses f1, f2, ...., fk
sur la variété S2×S2. Si f1, f2, ...., fk sont k fonctions lisses de S2×S2 à valeur dans R alors, on munit
S2 ×S2 d’une métrique g en tirant en arrière la métrique canonique de R6+k par l’immersion
: S2 ×S2 7−!R6+k définie par
(x ) = (x ; f1(x ), f2(x ), ..., fk (x )) 2R6+k ; x 2S2 ×S2.
Ce qui revient à dire que si X et Y sont deux champs de vecteurs tangents à S2 ×S2 en un point x alors
g (X ,Y ) = X •Y +(X f1,X f2, ...,X fk ) •(Y f1,Y f2, ...,Y fk ),
où •désigne le produit scalaire des espaces euclidiens R6 et R6+k .On a démontré que pour toute fonction
deMorse ou pour toute fonction lisse f : S2 ×S2 7−!R, la variété
S2 ×S2 {(x , f1(x )) 2R7; x 2S2 ×S2}
munie de la métrique induite par R7 n’est pas à courbure sectionnelle strictement positive ; et si f1, f2 :
S2 ×S2 7−!R sont deux fonctions deMorse ou lisses, la variété
S2 ×S2 {(x , (f1(x ), f2(x )) 2R8; x 2S2 ×S2}
munie de la métrique induite par R8 n’est pas à courbure sectionnelle strictement positive. |
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