Titre :	Solution renormalisée d’une équation elliptique-parabolique non linéaire et contrôlabilité exacte frontière d’un système de deux équations des ondes.
Type de document :	texte imprimé
Auteurs :	Thierno SARR, Auteur
Editeur :	Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Ecole Doctorale de Mathématiques et Informatique
Importance :	1vol.(90p.)
Présentation :	30cm.
Format :	PDF
Langues :	Français (fre)
Mots-clés :	Equation elliptique  Equation parabolique dégénérée  Solution renormalisée  Solution en-tropique  Equation des ondes  Méthode HUM  Element fini.
Résumé :	Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires. Elle traite deux problématiques indépendantes mais complémentaires : l’exis-tence et l’unicité de solutions pour une EDP elliptique-parabolique dégénérée, et la contrôla-bilité exacte d’un système couplé d’équations des ondes. On s’intéresse au problème d’évolution dégénéré modélisant l’écoulement d’un fluide en milieu poreux (équation de Richards) : avec M(u)(x, 0) = v0(x) dans Ω et u = 0 sur (0, T ) × ∂Ω, où Ω ⊂ R3, M : R → R est continue et croissante, f ∈ L1(Q) et v0 ∈ L1(Ω). La non-linéarité de M et la possible dégénérescence rendent les solutions faibles classiques inadaptées (non-unicité). On adopte la notion de solution renormalisée, caractérisée par M(u) ∈ L1(Q), Tk(u) ∈ L2(0, T ; H01(Ω)) pour tout k > 0, et satisfaisant une formulation intégrale faisant intervenir des fonctions tronquées. Résultats. On démontre l’existence et l’unicité de la solution renormalisée pour ce prob-lème sous des hypothèses de type Leray-Lions sur a. Un schéma numérique est proposé, combinant éléments finis (discrétisation spatiale) et schéma d’Euler implicite (discrétisation temporelle), avec résolution itérative par la méthode de Picard, implémentée sous Scilab. On étudie le système couplé de deux équations des ondes dans un domaine borné Ω ⊂ R2, à frontière Γ = Γe ∪ Γe :φ′′ − ∆φ + α yt = 0,y′′ − ∆y − α φt = 0 dans Ω × R+avec φ = 0 sur Γ × R+, y = 0 sur Γe × R+, et y = v (contrôle frontière dynamique) sur Γe × R+. L’objectif est de trouver v ∈ L2(0, T ; L2(Γe)) tel que l’état (φ, φt, y, yt) atteigne zéro en temps fini T . La méthode utilisée est la méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method) de J.-L. Lions, qui repose sur deux inégalités d’observabilité établies par la méthode des multiplicateurs, sous des conditions géométriques (m · ν ≥ r−1 sur Γe) et pour un temps 6/α + 8R + 6 max(1, C0) T > T0 = Résultats. Pour 0 < α < α0 et T > T0, on prouve l’existence d’un contrôle frontière exact, ramenant le système à l’état d’équilibre nul. La preuve s’appuie sur le théorème de Lax-Milgram appliqué à l’opérateur de contrôle Λ, dont la coercivité découle directement de l’inégalité d’observabilité. Les travaux futurs envisagés portent sur : (i) la contrôlabilité des solutions renormalisées pour des systèmes elliptique-paraboliques couplés ; (ii) le développement de schémas numériques (éléments finis, volumes finis) pour la simulation et la validation des algorithmes de contrôle frontière.
Permalink :	https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=3731

Solution renormalisée d’une équation elliptique-parabolique non linéaire et contrôlabilité exacte frontière d’un système de deux équations des ondes. [texte imprimé] / Thierno SARR, Auteur . - Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Ecole Doctorale de Mathématiques et Informatique, [s.d.] . - 1vol.(90p.) : 30cm. ; PDF.
Langues : Français (fre)

Mots-clés :	Equation elliptique  Equation parabolique dégénérée  Solution renormalisée  Solution en-tropique  Equation des ondes  Méthode HUM  Element fini.
Résumé :	Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires. Elle traite deux problématiques indépendantes mais complémentaires : l’exis-tence et l’unicité de solutions pour une EDP elliptique-parabolique dégénérée, et la contrôla-bilité exacte d’un système couplé d’équations des ondes. On s’intéresse au problème d’évolution dégénéré modélisant l’écoulement d’un fluide en milieu poreux (équation de Richards) : avec M(u)(x, 0) = v0(x) dans Ω et u = 0 sur (0, T ) × ∂Ω, où Ω ⊂ R3, M : R → R est continue et croissante, f ∈ L1(Q) et v0 ∈ L1(Ω). La non-linéarité de M et la possible dégénérescence rendent les solutions faibles classiques inadaptées (non-unicité). On adopte la notion de solution renormalisée, caractérisée par M(u) ∈ L1(Q), Tk(u) ∈ L2(0, T ; H01(Ω)) pour tout k > 0, et satisfaisant une formulation intégrale faisant intervenir des fonctions tronquées. Résultats. On démontre l’existence et l’unicité de la solution renormalisée pour ce prob-lème sous des hypothèses de type Leray-Lions sur a. Un schéma numérique est proposé, combinant éléments finis (discrétisation spatiale) et schéma d’Euler implicite (discrétisation temporelle), avec résolution itérative par la méthode de Picard, implémentée sous Scilab. On étudie le système couplé de deux équations des ondes dans un domaine borné Ω ⊂ R2, à frontière Γ = Γe ∪ Γe :φ′′ − ∆φ + α yt = 0,y′′ − ∆y − α φt = 0 dans Ω × R+avec φ = 0 sur Γ × R+, y = 0 sur Γe × R+, et y = v (contrôle frontière dynamique) sur Γe × R+. L’objectif est de trouver v ∈ L2(0, T ; L2(Γe)) tel que l’état (φ, φt, y, yt) atteigne zéro en temps fini T . La méthode utilisée est la méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method) de J.-L. Lions, qui repose sur deux inégalités d’observabilité établies par la méthode des multiplicateurs, sous des conditions géométriques (m · ν ≥ r−1 sur Γe) et pour un temps 6/α + 8R + 6 max(1, C0) T > T0 = Résultats. Pour 0 < α < α0 et T > T0, on prouve l’existence d’un contrôle frontière exact, ramenant le système à l’état d’équilibre nul. La preuve s’appuie sur le théorème de Lax-Milgram appliqué à l’opérateur de contrôle Λ, dont la coercivité découle directement de l’inégalité d’observabilité. Les travaux futurs envisagés portent sur : (i) la contrôlabilité des solutions renormalisées pour des systèmes elliptique-paraboliques couplés ; (ii) le développement de schémas numériques (éléments finis, volumes finis) pour la simulation et la validation des algorithmes de contrôle frontière.
Permalink :	https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=3731