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(2004)
| Titre : |
Les métriques associées critiques sur une variété symplectique |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Maïmouna BINT BAH, Auteur |
| Editeur : |
Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Département de Mathématiques-Informatique |
| Année de publication : |
2004 |
| Importance : |
123 P. |
| Format : |
29 cm |
| Langues : |
Français (fre) |
| Mots-clés : |
Métrique Riemannienne Métrique associée Métrique kahlérienne Métrique presque kahlérienne Variété symplectique Structure presque complexe Courbure scalaire Tenseur de Ricci Connexion de Levi Cevita Géométrie différentielle |
| Résumé : |
Depuis Hilbert, on sait que les points critiques de la fonction courbure scalaire totale (ie
g ~ J.., k dv 9
) convenablement normalisée sont les mét~[ques d'Einstein.
Ce résultat a conduit à se poser plusieurs questions naturelles sur (l'indice ? ), les points
cr:tique:; pour d'autres fonctions que la fonction courbure scalaire totale. Dans le présent
mémoire nous étudions un article de Blair et Ianus. Ils ont considéré les deux fonctions
I(g) = fü dv et k (g} = fü -k * dv définies sur l'ensemble·}l des métriques associées à une
forme symplectique (M variété symplectique compacte, k est la couihure scalaire, k* est la
* -- courbure scalaire et dv est . un élément de volume ge M), et ont établi les deux
théorèmes suivants :
Théorème 1 :Soit M une variété symplectique compactè et }l l'ensemble des métriques
associées à la forme symplectique. Alors une métrique g E }l est un point critique de la
fonction I(g) = 1~ dv sur }l si et seulement si le tenseur de Ricci de g ·commute avec la.
structure presque complexe correspondarit à g.
Théorème 2: Soit M une variété symplectique compacle ~t }l l'ensemble des
métriques associées à la forme symplectique. Alors une métrique g E }l est un point
critique! die la fonction k(g) = J~ -k * dv sur }l . si et seulement si le tenseur de Ricci .de· g
commute avec la structure presque complexe correspondant à g.
Propri1ét:é :
Pour une: variété presque kahlérienne nous avons k - k* = - _.!._ jVJj2 d'où
2
k - k* :; (1 et k - k• =: O si la variété est kahlérienne.
Remal"ques : i) 'ensemble }l des métriques associées à la forme symplectique n est
l'ensemble des métriques presque kahlérienne dont la 2 - forme fondamentale est n.
ii) il est clair que les métriques kahl6riennes quand elles existent sont les points critiques et
en fait les maximum pour la fonction k .
Ensuite nous avons considéré les contributions à la réponse à la question suivante :
Question : Une variété presque kahlérienne telle que le tenseur de Ricci commute avec la
structure presque complexe correspondant est elle kahlérienne ?
Citons entre d'autres :
En 1969 S .I. Goldberg a montré que si le tenseur de courbure de la métrique g de la
variété presque kahlérienne (M, J, g) commute avec la structure presque complexe J , alors
M est kahlérienne.
Sa conjecture : une variété presque kahlérienne d'Einstein compacte est kahlér:enne.
En 1976 W. Thurston : donne un exemple d'une variété symplectique compacte non
kahlérienne.
En 1984 E. Abbena donne un exemple d'une variété presque kahlérienne non kahlérienne.
En 1985 K. Sekigawa donne un exemple d'une variété d'Einstein presque kahlérienne
compa€te de dimension 4 avec une courbure scalaire non négative. qui est kahlérienne.
En 1990 J. Davidov et O. Muscarov ont donné une réponse négative à la question.
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| Permalink : |
https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=3331 |
Les métriques associées critiques sur une variété symplectique [texte imprimé] / Maïmouna BINT BAH, Auteur . - Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Département de Mathématiques-Informatique, 2004 . - 123 P. ; 29 cm. Langues : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Métrique Riemannienne Métrique associée Métrique kahlérienne Métrique presque kahlérienne Variété symplectique Structure presque complexe Courbure scalaire Tenseur de Ricci Connexion de Levi Cevita Géométrie différentielle |
| Résumé : |
Depuis Hilbert, on sait que les points critiques de la fonction courbure scalaire totale (ie
g ~ J.., k dv 9
) convenablement normalisée sont les mét~[ques d'Einstein.
Ce résultat a conduit à se poser plusieurs questions naturelles sur (l'indice ? ), les points
cr:tique:; pour d'autres fonctions que la fonction courbure scalaire totale. Dans le présent
mémoire nous étudions un article de Blair et Ianus. Ils ont considéré les deux fonctions
I(g) = fü dv et k (g} = fü -k * dv définies sur l'ensemble·}l des métriques associées à une
forme symplectique (M variété symplectique compacte, k est la couihure scalaire, k* est la
* -- courbure scalaire et dv est . un élément de volume ge M), et ont établi les deux
théorèmes suivants :
Théorème 1 :Soit M une variété symplectique compactè et }l l'ensemble des métriques
associées à la forme symplectique. Alors une métrique g E }l est un point critique de la
fonction I(g) = 1~ dv sur }l si et seulement si le tenseur de Ricci de g ·commute avec la.
structure presque complexe correspondarit à g.
Théorème 2: Soit M une variété symplectique compacle ~t }l l'ensemble des
métriques associées à la forme symplectique. Alors une métrique g E }l est un point
critique! die la fonction k(g) = J~ -k * dv sur }l . si et seulement si le tenseur de Ricci .de· g
commute avec la structure presque complexe correspondant à g.
Propri1ét:é :
Pour une: variété presque kahlérienne nous avons k - k* = - _.!._ jVJj2 d'où
2
k - k* :; (1 et k - k• =: O si la variété est kahlérienne.
Remal"ques : i) 'ensemble }l des métriques associées à la forme symplectique n est
l'ensemble des métriques presque kahlérienne dont la 2 - forme fondamentale est n.
ii) il est clair que les métriques kahl6riennes quand elles existent sont les points critiques et
en fait les maximum pour la fonction k .
Ensuite nous avons considéré les contributions à la réponse à la question suivante :
Question : Une variété presque kahlérienne telle que le tenseur de Ricci commute avec la
structure presque complexe correspondant est elle kahlérienne ?
Citons entre d'autres :
En 1969 S .I. Goldberg a montré que si le tenseur de courbure de la métrique g de la
variété presque kahlérienne (M, J, g) commute avec la structure presque complexe J , alors
M est kahlérienne.
Sa conjecture : une variété presque kahlérienne d'Einstein compacte est kahlér:enne.
En 1976 W. Thurston : donne un exemple d'une variété symplectique compacte non
kahlérienne.
En 1984 E. Abbena donne un exemple d'une variété presque kahlérienne non kahlérienne.
En 1985 K. Sekigawa donne un exemple d'une variété d'Einstein presque kahlérienne
compa€te de dimension 4 avec une courbure scalaire non négative. qui est kahlérienne.
En 1990 J. Davidov et O. Muscarov ont donné une réponse négative à la question.
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MEM 2917
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MEM 2917 |
Mémoire de DEA |
Master mathématiques et Informatique |
Géométrie différentielle
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MEM 2918
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Géométrie différentielle
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