| Titre : |
ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI ET FORMULES DE HOPF-LAX- OLEINIK DANS LES ESPACES NON-EUCLIDIENS : APPLICATIONS À LA MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUES |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Alioune MBENGUE, Auteur |
| Editeur : |
Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique |
| Année de publication : |
2026 |
| Importance : |
1vol.(173p.) |
| Présentation : |
30cm. |
| Format : |
PDF |
| Langues : |
Français (fre) |
| Mots-clés : |
Analyse multi-échelle Espace non-euclidien Propriété morphologique Equation derivee formule algorithme Hamilton-Jacodi groupe de lie morphologie mathématique image traitement Hopf-LAX-OLEINIK solution simulation numerique ordinateur performance. |
| Résumé : |
L’analyse multi-échelle reste une tâche très importante dans de nombreux domaines. C’est le cas, par exemple, en traitement d’images, avec des applications en analyse des fréquences, en détection de mouvements, en compression des données, en détection de ca-ractéristiques, etc. Elle consiste à analyser finement les structures des données à différentes échelles ou résolutions. La morphologie mathématique (MM) apparaît alors comme un ou-til d’analyse multi-échelle très intéressant qui a fait ses preuves durant des décennies et s’avère très efficace dans divers domaines, avec des applications variées, grâce à ses bonnes propriétés de non-linéarité et de préservation des formes et de la géométrie des objets. De nombreux travaux sont consacrés à son formalisme pour une meilleure compréhension de son fonctionnement et pour proposer de nouveaux algorithmes plus performants. Ce travail de thèse s’inscrit dans ce contexte, avec pour objectif principal d’étendre la MM à des espaces non-euclidiens afin de tirer pleinement parti de la géométrie des espaces dans lesquels les objets seront définis, et de proposer de nouvelles extensions de la MM, ainsi que de nouveaux opérateurs morphologiques multi-échelles, pour une analyse multi-échelle plus fine des objets. Pour ce faire, nous adoptons le cadre d’analyse fonctionnelle qui permet de faire le lien entre la MM, les équations aux dérivées partielles (EDP) de type Hamilton-Jacobi du premier ordre et les notions d’espaces-échelles, qui sont bien établies et satisfont certains principes axiomatiques. Nous proposons d’étudier l’existence, au sens des viscosi-tés, des solutions de ces EDP, plus connues sous le nom de solutions de Hopf-Lax-Oleinik (HLO), dans les variétés Riemanniennes et les groupes de Lie affines. Cela nous permet alors d’introduire de nouveaux opérateurs morphologiques qui reposent sur les formules HLO avec le choix d’un Hamiltonien particulier permettant de faire le lien avec la MM. Cette thèse apporte des contributions théoriques sur l’analyse au sens des viscosités des EDP dans ces espaces non-euclidiens, et donc sur le formalisme et l’extension de la MM dans de tels espaces. Comme pour la MM dans Rn, nous montrons que ces nouveaux opé-rateurs vérifient également des propriétés morphologiques importantes, en particulier la propriété de semi-groupe, la dualité, l’anti-extensivité et l’adjonction. Les résultats de si-mulations numériques des approches proposées montrent tout l’intérêt de ces travaux pour des applications en traitement d’images et en vision par ordinateur. |
| Permalink : |
https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=3724 |
ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI ET FORMULES DE HOPF-LAX- OLEINIK DANS LES ESPACES NON-EUCLIDIENS : APPLICATIONS À LA MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUES [texte imprimé] / Alioune MBENGUE, Auteur . - Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique, 2026 . - 1vol.(173p.) : 30cm. ; PDF. Langues : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Analyse multi-échelle Espace non-euclidien Propriété morphologique Equation derivee formule algorithme Hamilton-Jacodi groupe de lie morphologie mathématique image traitement Hopf-LAX-OLEINIK solution simulation numerique ordinateur performance. |
| Résumé : |
L’analyse multi-échelle reste une tâche très importante dans de nombreux domaines. C’est le cas, par exemple, en traitement d’images, avec des applications en analyse des fréquences, en détection de mouvements, en compression des données, en détection de ca-ractéristiques, etc. Elle consiste à analyser finement les structures des données à différentes échelles ou résolutions. La morphologie mathématique (MM) apparaît alors comme un ou-til d’analyse multi-échelle très intéressant qui a fait ses preuves durant des décennies et s’avère très efficace dans divers domaines, avec des applications variées, grâce à ses bonnes propriétés de non-linéarité et de préservation des formes et de la géométrie des objets. De nombreux travaux sont consacrés à son formalisme pour une meilleure compréhension de son fonctionnement et pour proposer de nouveaux algorithmes plus performants. Ce travail de thèse s’inscrit dans ce contexte, avec pour objectif principal d’étendre la MM à des espaces non-euclidiens afin de tirer pleinement parti de la géométrie des espaces dans lesquels les objets seront définis, et de proposer de nouvelles extensions de la MM, ainsi que de nouveaux opérateurs morphologiques multi-échelles, pour une analyse multi-échelle plus fine des objets. Pour ce faire, nous adoptons le cadre d’analyse fonctionnelle qui permet de faire le lien entre la MM, les équations aux dérivées partielles (EDP) de type Hamilton-Jacobi du premier ordre et les notions d’espaces-échelles, qui sont bien établies et satisfont certains principes axiomatiques. Nous proposons d’étudier l’existence, au sens des viscosi-tés, des solutions de ces EDP, plus connues sous le nom de solutions de Hopf-Lax-Oleinik (HLO), dans les variétés Riemanniennes et les groupes de Lie affines. Cela nous permet alors d’introduire de nouveaux opérateurs morphologiques qui reposent sur les formules HLO avec le choix d’un Hamiltonien particulier permettant de faire le lien avec la MM. Cette thèse apporte des contributions théoriques sur l’analyse au sens des viscosités des EDP dans ces espaces non-euclidiens, et donc sur le formalisme et l’extension de la MM dans de tels espaces. Comme pour la MM dans Rn, nous montrons que ces nouveaux opé-rateurs vérifient également des propriétés morphologiques importantes, en particulier la propriété de semi-groupe, la dualité, l’anti-extensivité et l’adjonction. Les résultats de si-mulations numériques des approches proposées montrent tout l’intérêt de ces travaux pour des applications en traitement d’images et en vision par ordinateur. |
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