| Titre : |
Analyse géométrique des formes optimales sur des variétés Riemanniennes |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Ababacar Sadikhe DJITE, Auteur |
| Editeur : |
Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Département de Mathématiques-Informatique |
| Année de publication : |
2025 |
| Importance : |
132 P. |
| Format : |
29 cm |
| Langues : |
Français (fre) |
| Mots-clés : |
Forme optimale géométrie différentielle Contrôle optimal géométrique Contrôle optimal Problème aux limites Problème à frontière libre Géométrie Riemannienne Géométrie
riemannienne en dimension finie Géométrie riemanniennes en dimension infinie Dimension finie Opérateur de Krein-Feller Opérateur auto-adjoint Variété riemannienne Surface de quadrature Variété Riemannienne compacte Approximation numérique Calcul de surface Surface Quadrature |
| Résumé : |
Un problème de surface de quadrature est souvent lié à l’approximation numérique des calculs de surface, en
particulier dans le contexte de l’intégration.
La quadrature est un terme qui fait référence à la méthode numérique d’approximation d’une intégrale. En
d’autre termes, elle est utilisée pour estimer la valeur numérique d’une intégrale définie. Lorsqu’il s’agit de
surfaces, la quadrature est souvent utilisée pour calculer des aires.
Cependant, si nous considérons une variété Riemannienne de dimension supérieure ou égale à deux. Un problème
de surface de quadrature peut se définir par une équation aux dérivées partielles de second ordre dans
un domaine régulier dont les conditions de Dirichlet et de Neumann sont imposées simultanément au bord.
L’un des objectifs principaux de cette thèse est l’étude du problème de surface de quadrature sur des domaines
contenus dans une variété Riemannienne compacte.
Le premier chapitre est dédié à la présentation de quelques résultats préliminaires d’analyse fonctionnelle et
de géométrie différentielle qui seront utiles pour la preuve des résultats principaux.
Dans le deuxième chapitre nous donnons un résultat d’existence de domaines de classe C2 dans les variétés
Riemanniennes compactes de telle sorte que le problème de surface de quadrature soit résoluble. Précisément,
nous montrons en première section que ces domaines sont obtenus en considérant des classes d’ouverts possédant
une propriété géométrique sur la normale intérieure au bord de l’ouvert. L’idée consiste à ramener le
problème de surface de quadrature sous forme d’un problème d’optimisation de forme sur des classes d’ouverts
avec une contrainte de nature géométrique portant sur la normale intérieure et de prouver ensuite que la classe
de domaine considéré est compacte pour la topologie de Hausdorff puis nous montrons que l’application qui
au domaine minimal obtenu nous associons la solution du problème de Dirichlet correspondant, est continue
pour la topologie de Hausdorff.
Le troisième chapitre est dédié à l’étude de la stabilité et la positivité de la solution du problème de surface de
quadrature. Pour cela nous cherchons une métrique de type Sobolev dans le cadre des variétés Riemanniennes
de dimension infinie, pour laquelle il est possible de calculer le Hessien de la fonctionnelle de forme associée
au problème afin de caractériser un point critique comme étant le minimiseur de cette fonctionnelle pour
ensuite établir des propriétés quantitatives sur le minimiseur.
Le chapitre quatre est consacré à la caractérisation de l’opérateur de Krein-Feller Δμ sur les variétés Riemannienne
de dimension finie où μ est une mesure de Radon sur Ω ⊂ M telle que μ(Ω) ≥ 0. Plus précisément,
cette caractérisation consiste à montrer l’existence d’un opérateur auto-adjoint τ définie positive sur l’espace
de Hilbert H = L2(Ω, μ) afin de trouver la forme quadratique Qτ associée à cet opérateur. Puis, en établissant
un résultat de continuité nous montrons alors que le domaine de la forme bilineaire ε(., .) définie positive sur
l’espace de Hilbert H noté Dom(ε) est dense dans L2(Ω, μ) et
Dom(ε), ε∗
où ε∗(., .) est la fermeture de
ε(., .) sur L2(Ω, μ), est un espace de Hilbert, ce qui va nous permettre ainsi de définir par dualité l’opérateur
auto-adjoint τ afin de l’identifier avec Δμ. |
| Permalink : |
https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=2833 |
Analyse géométrique des formes optimales sur des variétés Riemanniennes [texte imprimé] / Ababacar Sadikhe DJITE, Auteur . - Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Département de Mathématiques-Informatique, 2025 . - 132 P. ; 29 cm. Langues : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Forme optimale géométrie différentielle Contrôle optimal géométrique Contrôle optimal Problème aux limites Problème à frontière libre Géométrie Riemannienne Géométrie
riemannienne en dimension finie Géométrie riemanniennes en dimension infinie Dimension finie Opérateur de Krein-Feller Opérateur auto-adjoint Variété riemannienne Surface de quadrature Variété Riemannienne compacte Approximation numérique Calcul de surface Surface Quadrature |
| Résumé : |
Un problème de surface de quadrature est souvent lié à l’approximation numérique des calculs de surface, en
particulier dans le contexte de l’intégration.
La quadrature est un terme qui fait référence à la méthode numérique d’approximation d’une intégrale. En
d’autre termes, elle est utilisée pour estimer la valeur numérique d’une intégrale définie. Lorsqu’il s’agit de
surfaces, la quadrature est souvent utilisée pour calculer des aires.
Cependant, si nous considérons une variété Riemannienne de dimension supérieure ou égale à deux. Un problème
de surface de quadrature peut se définir par une équation aux dérivées partielles de second ordre dans
un domaine régulier dont les conditions de Dirichlet et de Neumann sont imposées simultanément au bord.
L’un des objectifs principaux de cette thèse est l’étude du problème de surface de quadrature sur des domaines
contenus dans une variété Riemannienne compacte.
Le premier chapitre est dédié à la présentation de quelques résultats préliminaires d’analyse fonctionnelle et
de géométrie différentielle qui seront utiles pour la preuve des résultats principaux.
Dans le deuxième chapitre nous donnons un résultat d’existence de domaines de classe C2 dans les variétés
Riemanniennes compactes de telle sorte que le problème de surface de quadrature soit résoluble. Précisément,
nous montrons en première section que ces domaines sont obtenus en considérant des classes d’ouverts possédant
une propriété géométrique sur la normale intérieure au bord de l’ouvert. L’idée consiste à ramener le
problème de surface de quadrature sous forme d’un problème d’optimisation de forme sur des classes d’ouverts
avec une contrainte de nature géométrique portant sur la normale intérieure et de prouver ensuite que la classe
de domaine considéré est compacte pour la topologie de Hausdorff puis nous montrons que l’application qui
au domaine minimal obtenu nous associons la solution du problème de Dirichlet correspondant, est continue
pour la topologie de Hausdorff.
Le troisième chapitre est dédié à l’étude de la stabilité et la positivité de la solution du problème de surface de
quadrature. Pour cela nous cherchons une métrique de type Sobolev dans le cadre des variétés Riemanniennes
de dimension infinie, pour laquelle il est possible de calculer le Hessien de la fonctionnelle de forme associée
au problème afin de caractériser un point critique comme étant le minimiseur de cette fonctionnelle pour
ensuite établir des propriétés quantitatives sur le minimiseur.
Le chapitre quatre est consacré à la caractérisation de l’opérateur de Krein-Feller Δμ sur les variétés Riemannienne
de dimension finie où μ est une mesure de Radon sur Ω ⊂ M telle que μ(Ω) ≥ 0. Plus précisément,
cette caractérisation consiste à montrer l’existence d’un opérateur auto-adjoint τ définie positive sur l’espace
de Hilbert H = L2(Ω, μ) afin de trouver la forme quadratique Qτ associée à cet opérateur. Puis, en établissant
un résultat de continuité nous montrons alors que le domaine de la forme bilineaire ε(., .) définie positive sur
l’espace de Hilbert H noté Dom(ε) est dense dans L2(Ω, μ) et
Dom(ε), ε∗
où ε∗(., .) est la fermeture de
ε(., .) sur L2(Ω, μ), est un espace de Hilbert, ce qui va nous permettre ainsi de définir par dualité l’opérateur
auto-adjoint τ afin de l’identifier avec Δμ. |
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