| Titre : |
Clôture intégrale des Anneaux R(X) |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
El Hacen OULD BOKI, Auteur |
| Editeur : |
Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Département de Mathématiques-Informatique |
| Année de publication : |
2002 |
| Importance : |
62 P. |
| Format : |
29 cm |
| Langues : |
Français (fre) |
| Mots-clés : |
Anneau Anneau R(X) Anneau réduit Série formelle Contenu unitaire Clôture intégrale Idéal semi-régulier Fraction finie Anneau idéalisé Nilradical |
| Résumé : |
Soit R un anneau qui n'est pas nécessairernent intègre, T(R) : l'anneau
total des fractions de R. R est intégralement clos, si et seulement si, R est
intégralement fermé dans T(R).
Soit R[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans R,
U(H) = {g E R[X] / C(g) = R} où C(g) est l'idéal de R engendré par les
coefficients de g. U(R) : est une partie multiplicative de R[X]. Notons R(X) :
l'anneau des fractions de R[X] par rapport à U(R).
Il s'agit de trouver des conditions nécessaires ou suffisantes pour que
R(X) soit intégralement clos.
Les tentatives les plus récentes sont celles des mathématiciens
J. Lambek, T. LUCAS ET J. Huckaba qui ont d'abord tenté de résoudre la
question : quant est ce que R[X] est intégralement clos ? Ils ont défini un
anneau noté Q0 (R) appelé : anneau des fractions finies sur R et ils ont montré
que : R[X] est intégralement clos, si et seulement si, R est intégralement fermé
dans Oo(R).
J. Huckaba a montré que si R est un anneau noethérien, R' sa clôture
intégrale, et si le nilradical de R' est de type fini, alors R'(X) est intégralement
clos.
Nous avons montré que la réciproque du Théorème de J. Huckaba est
fausse.
Exemple: Soient D = K[[X,Y]]: l'anneau des séries form.elles à coefficients
dans un corps K, à deux indéterminées X et Y et P = (X2
- Y3
) l'idéal de D
engendré par: X2
- Y3
• Soit l'anneau idéalisé :
R = D (+) D/P. Alors R est un anneau local, noethérien, dont la clôture intégrale
est R' = D (+)L où L est le corps des fractions de D/P. Aussi, R'(X) est
intégralement clos, bien que le nilradical de R' n'est pas de type fini ./.
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| Permalink : |
https://bibliothequefst.ucad.sn/index.php?lvl=notice_display&id=2798 |
Clôture intégrale des Anneaux R(X) [texte imprimé] / El Hacen OULD BOKI, Auteur . - Université Cheikh Anta Diop de Dakar : Faculté des Sciences et Techniques : Département de Mathématiques-Informatique, 2002 . - 62 P. ; 29 cm. Langues : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Anneau Anneau R(X) Anneau réduit Série formelle Contenu unitaire Clôture intégrale Idéal semi-régulier Fraction finie Anneau idéalisé Nilradical |
| Résumé : |
Soit R un anneau qui n'est pas nécessairernent intègre, T(R) : l'anneau
total des fractions de R. R est intégralement clos, si et seulement si, R est
intégralement fermé dans T(R).
Soit R[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans R,
U(H) = {g E R[X] / C(g) = R} où C(g) est l'idéal de R engendré par les
coefficients de g. U(R) : est une partie multiplicative de R[X]. Notons R(X) :
l'anneau des fractions de R[X] par rapport à U(R).
Il s'agit de trouver des conditions nécessaires ou suffisantes pour que
R(X) soit intégralement clos.
Les tentatives les plus récentes sont celles des mathématiciens
J. Lambek, T. LUCAS ET J. Huckaba qui ont d'abord tenté de résoudre la
question : quant est ce que R[X] est intégralement clos ? Ils ont défini un
anneau noté Q0 (R) appelé : anneau des fractions finies sur R et ils ont montré
que : R[X] est intégralement clos, si et seulement si, R est intégralement fermé
dans Oo(R).
J. Huckaba a montré que si R est un anneau noethérien, R' sa clôture
intégrale, et si le nilradical de R' est de type fini, alors R'(X) est intégralement
clos.
Nous avons montré que la réciproque du Théorème de J. Huckaba est
fausse.
Exemple: Soient D = K[[X,Y]]: l'anneau des séries form.elles à coefficients
dans un corps K, à deux indéterminées X et Y et P = (X2
- Y3
) l'idéal de D
engendré par: X2
- Y3
• Soit l'anneau idéalisé :
R = D (+) D/P. Alors R est un anneau local, noethérien, dont la clôture intégrale
est R' = D (+)L où L est le corps des fractions de D/P. Aussi, R'(X) est
intégralement clos, bien que le nilradical de R' n'est pas de type fini ./.
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